《令人崇敬又令人畏惧》/刘姥姥的孙女儿(中国)

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谢谢上苍,幸亏儿子教我,懂了一点电脑知识,没有被当今数码社会抛弃于计算机文盲的荒野。别说高精尖的学科,就是日常生活都已经离不开数学了,你看,数码电脑、数码电视、数码相机、数码电饭煲,举不胜举。我相信将来还会有数码餐饮,数码衣物等等,就像当年高中政治课堂上老师说的:到了共产主义,你要苹果就有苹果,你要牛奶就有牛奶一样。现在还真的只要你想得到的,就能送到你手上。在敬佩数学的无所不在以外,让人还特别感受到数学无穷无限惊人的生命力、想象力。真如培根(英国哲学家)说:“数学是打开科学大门的钥匙。”

但是本人害怕数学。记得初一时候,数学曾经不及格,59分。一边对数学老师生气,就差一分,就给我不及格!一边心想我不会学数学专业的!果真,我学了文科,虽然后来理科成绩也不太差。从此我就不常关心带有数字的事情。如不拿工资单,身边不带钱包,家里不管钱的进出,还害怕进银行。偶尔要算账呢?确实差。同事们常常笑话我,数学是体育老师教的。真冤了天下的体育老师。

孩子上了小学时,不可避免地被数学困扰了。孩子拿了一个图:一个长方形斜对折,形成两个小长方形和两个三角形,告诉你两个小长方形的面积和边长。要求出这个大长方形的周长是多少?题目有点拗,但还是能做出来。做完要讲给孩子听时,孩子直叫,不可以用x y的,要用算术式子。想了半天,用算术式子做出来,结果与方程式做出来的不一样。第二天,孩子对我说:你昨天教我的是错的。孩子已经懂了,我连忙请教孩子应该怎么做。感触很深,一是现在做父母的,其实在孩子面前有不少软弱的死角;二是小学的算术真的比方程难。难怪德国数学家高斯说:“数学是科学的皇后,而算术是数学的皇后”。

在辅导孩子数学解题的过程中,突然萌发了再学学数学的念头。身边有这样的例子:既是大学数学系的教授,又是出了几本诗集的诗人。理科人能这样,文科人是否也试一试去掌握理性的数学?

于是借来了初中和高中的数学书。感谢法国数学家韦达。他被奉为数学之父的主要贡献,因为是他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂。一元一次方程、二元一次方程,把公式记住,方程还能解出来。心想,孩子到初中,辅导他解方程没有问题了。

然而,要继续下去,谈何容易!到了几何,开始,我们的老祖宗,在《周髀算经》中陈述的勾股定理还不难,但从一眼看清楚的平面几何转到凭空想象的立体几何就摸不着头脑了,尤其是空间的角,无处着落。按理说,文科人想象力应该不弱,但数学是门讲究逻辑的科学,不是胡思乱想。本来数学基因就不好,于是又一次畏缩,半途而废了。

一位数学老师对我说,你真的想了解数学,那就介绍你看几本数学书,不懂数学也能把数学了解个大概。他说的数学书是:《数学史》、《数学中的韦达定理——天才引导历程》、《数学经验》、《数学天书中的证明》和《证明与反驳——数学发现的逻辑》。

对数学,这辈子不可能懂得了。但是可以了解。只要你看上第一本,你就会敬佩得五体投地。古代的数学家不是哲学家,就是思想家。他们那种思维逻辑,不是常人所能具备的。数学家们说:“数学是人类的思考中最高的成就。”

我相信,并也明白了为什么文科大学生也要学数学的道理:“数学是一种会不断进化的文化。”

我相信,因为社会历史事实已经证明。并且,最近北京零零无限科技公司刚发明的会跟踪目标、会空中悬浮的Hover Camera又证明了这一点。摄影界将会有一个不小的变化。当然:数学也是“研究现实生活中数量关系和空间形式的数学”。

不言而喻,每个人的生活中都有大量复杂繁琐的数学关系。真的应该为了好好地生活而好好地学习数学。不过本人只能敬而远之。

摄影:Clement(马来西亚)

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《如何提升孩子对数学的兴趣?》/徐嘉亮(马来西亚)

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根据PISA在2012年的全球性評估, 我国十五岁的学生在在数学方面(排名52 , 421分);比起2010年PISA的404分增至421分,而稍微取得進步。重要的是,世界银行大馬区高级经济学家弗萊德利克声称:“超過一半大马学生的数学程度不达标,即使是最优秀的5%大马学生,他们的表现只是与韩国和日本学生的平均水平相等。”

再来一个惊爆的消息,小弟在一所私立学院执教;当中九十九个百分比的学生都是华裔。一直以来,华人都以数理科特强为傲,怎么知道大部分的学生不能毕业,只因数学不及格。我们积极地访问这批学生,得到的答案是:“对数学没兴趣,或是学数学没用……”

经过小弟的再三探讨,主要的原因不外如下:
(一) 早期校方对念理科的学生在程度上都有一定的要求(初中三政府考试成绩优异),且当时学生的娱乐和消遣场所不多,上课时间也比较短,因此学生肯花时间及精力在演算和思考难题上,也比较有时间及主动阅读参考书。今天,资讯发达,网路上有太多千奇百怪的新鲜事吸引着他们、手机功能日日新,导致学生大部分的时间都被剥夺了。学校的老师为了赶教纲,往往就是直接提供答案,思考能力及动手实验的积极性日益减低。试问这怎么会不影响整体的数学水准及学习风气呢?更过分的是,某些中学老师只教学生应考,反正SPM的高级数学试卷可以选题目作答,所以难度较高的三角……一一跳过——免教!

(二) 教育部的朝令夕改,一会儿数理英语化,一会儿恢复马来文教学;在没有周详及集思广益的规划下,整份以双语出题的试卷不但不论不类,师资的英文素养也参差不齐。教育策划者都以自个儿的政治利益为出发点,而忽略了人性,无形中削减了学生对数理的兴趣、创新的动力和思考能力。

(三) 正如练鱼兄所写的——(高中时,数学有教微积分。部分同学很迷惘,会问:“学这干嘛?毕业后会用得着吗?”老实话,除非同学们接下去是念纯理科,否则真的是没有机会再接触。)梁山下买豆腐兄也提出:“女儿现今在幼儿园里学的东西,……以算术为例,他们现在已经在做十位数的加减法。”这两位仁兄所提到的,恰恰是我国学生数学低落及没兴趣的死穴。一直以来,我国教育的方式很死板,总是语文归语文,数学归数学。假如我们能够融入人智学的华德福教育,让数学不再成为诡计的竞赛,避免生硬艰涩数学教育,只为了冷冰冰的考试分数而存在。让我们参考以下的例子:“我给三年级上重量,讲的故事,画这个图景,带出平衡、称重,把语文、数学、物理联系在一起。而长度、重量、时间、钱币等,是一个“板块”——我们叫的板块教学,即在三到四周里,在早上2个小时左右时间中,调动相关形式,围绕一个主课反复攻打,强化学习。节律,节奏和韵律。有每日的节律,我们称为“地球的节律”,是因为地球自转是一天。早上两小时主课是这个节律中最大特点,此外,语言类会放在主课后,下午是一些艺术和动手的课程。第二个是行星的节律,一周的节律。周课表中周初和周末尾会有缓急的不同考量。月亮的节律就是月历,这个很重要,主课板块就依据这个。年的节律。华德福学校师生、家长的节庆就依据这个节律。孩子们也期待节庆的烽火点燃年轮中的高潮。”

另外一个例子是:“而我们谈到‘交互课程’的时候,是指不同年龄阶段跨学科的交互关系,比如一二年级儿歌、童谣与高年级甚至高中数学课的关系。‘一只蛤蟆一张嘴,两只眼睛四条腿……两只蛤蟆两张嘴,四只眼睛八条腿’。七年级代数写方程式,设蛤蟆是y,嘴为a,眼睛为b,腿为c,即y=a;y=2b;y=4c。或是七年级生理学的呼吸与庄子散文与高中化学之间的关系。(摘录自http://www.infzm.com/content/110936)试问如此活泼及生活化的数学教学方式,学生还会上课打瞌睡吗?孩子还会害怕数学或对自己的数学能力不自信吗?

各位看官,我们的生活离不开数学,怎么在教学的时候,我们却硬生生地把数学从生活中扯开呢?但愿这一切都能从我们这一代开始作出改变,让孩子们爱上数学。

摄影:林明辉(瑞典)

《玩数学》/杨晓红(台湾)

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日前帮小孩办理小学一年级的新生报到手续,学校附送一本新生手册给家长阅读,手册里除了介绍国小教育理念等的基本数据,还收録了一些育儿文章,帮家长和小孩做一些学前准备,以提早适应小学校生活。该手册可说是苦口婆心,也印证了一些老师所诉苦的“家长比小孩难教”,其内容包括: 、、、等文章。处处教导父母如何教育小孩,十分用心。

其中,有提醒家长“先跑未必先赢”的观念,如有些孩子在入学前已背熟九九表,但专家提醒,更重要的是具备数字与数量关系的“量感”。可利用平常生活上数量的应用,如吃葡萄时,可请小孩数出数字,或两个成一组,分成好几组之相加概念而演变相乘关系等。若盲目的让小孩背诵乘法表,而不知其意义,这对孩子的数学能力并无帮助。

光背数字实无意义,依小孩的学习意愿,可透过玩中学的方式,如开车遇塞车,会请小孩把前方的车牌号码相加,玩了多次以后,小孩还会自已念9..9..18,7..7..14,这时候就趁机会解说相乘的观念。从游戏中玩数学,小孩学得非常开心还很有成就感。看小孩加减法还不错,去买一本数学练习题给他练习加减法,结果受到小孩的强烈抗议,真是适得其反。

把练习题摆在一边,来玩“黐十仔”扑克牌,意即两张牌一组,每组相加必须等于十,透过抽牌及别人发的牌,最终先完成三组十的牌即可得胜。这简单容易上手的数学游戏,让小孩可快速反应多种以十为单位的分解。加法没问题后,也懂一些国字后,可以玩扑克牌版的大富翁,2-5人的桌游,约半小时为一局,它简化了传统型大富翁的玩法,但又不失其乐趣;除了运气成份外,牌法变化无常,可运用的策略十分多样化,又可合纵连横破坏赢面最大的人,充满算计,亦敌亦友,小孩说有如《三国演义》里的故事,吵着每天睡前都要玩一次。

众所周知,马来西亚印度人专属的“Mamak档”,老板都能用心算快速把多种不同单价且数量多的餐点计算完成。于是有朋友推荐学习印度数学,它的运算方式快又简单,很适合我们日常数学的心算。小孩熟悉了10以内或整数的相加减,口头问小孩35- 18,他完答速度出乎预料;我问他如何算出,他说,先把18加到20,然后35-20=15,记得把多减的2加回去 17。看来我该把我印度数学那本书全部做一遍了。

摄影:周嘉惠(马来西亚)

《生活里的数学》/陈泉慧(马来西亚)

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数学,在我们的生活里,处处可见。

孩子出世,要用多少钱?一直到他上大学,父母亲要准备好多少钱来应付?父母亲自己呢?孩子大学毕业后,大概距离自己退休的日子也不远了,你的退休金足够了吗?日益上涨的医疗费用,你应付得来吗(所以有这么一说—-没钱的,别学有钱人生病!)?

你买的新车子,可以满足你的虚荣心一个月。但是这是一直贬值的负资产。另外还得要付维修、添油、过路费、保险等等开支。那么要转去公共交通吗?在马来西亚,公交不完善,费用也不便宜,而且治安不好(用uber叫车还要担心被人打),所以算了一会儿之后,许多人就打消了用公交的念头(所以国产车还会有销路;收费站公司每年继续吞噬上亿过路费!)。

银行给定期存款的客户多少年利率?你所收取的利息,够不够应付通膨?银行收了你的定存,转身发放房贷啊,生意融资啊等等贷款给客户。银行家向客户收取多高的利息?你所还的每一期房贷,有多少是还母金,多少是还利息?银行每收取一元的存款,可以借多少倍的贷款?银行‘预先批准’你的信用卡和借贷上限。如果迟还卡债,每一天的利息是多少(收一元定存,可以放贷40元,外加利息,所以说银行家永远是稳赚的那一个!)?

开发商盖房子,桩要打多深? 要用多少石灰、水泥、铁条、砖块、木材、人手?管理层效率有多高?要多少时间才盖好?地皮、人工、建材越来越贵,如果开发商要赚20%,那么总共得划成多少个单位,每个单位又要卖多少钱呢(为什么我爷爷不是李嘉诚!?)?

GST匆匆实行,‘相关单位’要求多多,隐藏费用高,国家管理不当,政治不稳定攀高,贪污越来越严重,做生意的成本越来越高。许多中小型企业索性关门大吉,中大企业也常听闻打算要迁往邻近国家,而人民生活就只有越来越苦(所以说宁做太平犬,莫当乱世人!)。

电影里,坏人常常说的一句话,就是“每个人都有一个价码—-开个价来!”。言下之意,每一个人都可以被收买,只是每个人的价钱不一样。当然,戏里的好人会说,“我是无价的”(所以说这只是电影情节!) 。

摄影:PL Tan(马来西亚)

《心理算术与战术》/宝棋(马来西亚)

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数学在我们生活里是门非常有用,同时也是门非常复杂的科目。我说的复杂不是因为那些各式各样刁难的方程式,而是出动数学大师或高性能计算机也算不出来的心理计算习题。

男友送女友一支花说她是他的唯一,有些女生会“霖到爆”,有些女生可能会嫌弃一支太少,九十九支才达标。看来男生要是把握不好玫瑰的数量,也难讨红颜欢心。话说回来,一般上没人会嫌“多”,可是如果有些产品被标上限量版的话,事情就不一样说法了。所谓物以稀为贵,再多就失去其独特的价值了。

有些事可能很多男生都不能理解,比如说一个价值七百和另一个价值七千的真皮包包,对理性的男生来说,两者都是实用的手提袋。可是当女生说七千的手提袋很耐用,这等价钱很划算的时候,好像就欠缺一些说服力。想必男生把计算机按破了也算不出所谓的性价比,今时今日的科技暂时还无法克服心理计算的难关。

另有一种计算需要点市场调查和人情关系考量,比如说:普通朋友、好友、死党、亲戚或远房亲戚办喜事,红包要包多少?虽然这是芝麻绿豆的小事,可是如果拿捏不当就大事不妙了,也许会后患无穷。这种简单的算术,计算机没法算,也没有公式可套,复杂不复杂?

还有一种心理数学题非常有趣,它不需要用到加减乘除的四则运算,只需要组合几个罗马数字就可以传情答意。5201314 和 3228 都是民间蛮热的组合,要是你不懂就落伍了!

数学本身已经够复杂,如果再加上人类七情六欲所引起的化学作用,非但变化无穷,还因人而异,一切就变得更不简单了。在人与人之间的关系里,仅仅数学好是不够的,如果还能掌握人情和数学之间的化学关系,对于人事、工作和感情都会事半功倍,并获得意想不到的成果。这种心理算术也是一种战术,你掌握了吗?

摄影:宝棋(马来西亚)

《数学代词》/林高树(马来西亚)

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原住民的形容词往往非常形象,“一位貌美如花的女子”是原住民的手笔,“一位闭月羞花的女子”就没有什么原住民味道,太抽象了。我不是原住民,不习惯用那一套路数的形容词,不过我写东西偶尔会设下一些障碍让读者突然有跨栏的感觉。这些障碍就是把一些常用的数学观念化为形容词来使用,这里简单举几个例子加以说明。

以“渐近线”来取代“虽不能至,然心向往之”的说法。渐近线就是可以很靠近,但永远无法触碰的一条线,用它来形容一个“神圣的标准”十分贴切。电影《重庆森林》里经典的“0.01公分距离”形容,一直都给我很“渐近线”的印象。

用“平行线”来形容“有缘无分”已经很常见了,再用就没多大意思。不过,用“切线”(tangent line)来说明“擦身而过”就很好玩。“两个毫无关系的人,因为缘分的关系,在这一个时间、空间形成一条切线。”好吧,我承认这不是一段很有趣的文字,但它至少也可以挑战一下那些自以为中文程度很高,却从不检讨自己数学程度有多低的读者。

斜截式在坐标系里是不是构成了一幅“双双对对”的图案?不过具体如何使用,还有待推敲。我个人宁可采用“不管七三二十一”,而非“不管三七二十一”来形容“豁出去”。如果不能接受“七三二十一”的说法,只证实了此君并没有完全“豁出去”,仍然苟泥于旧说法,三乘七和七乘三难道不是同一回事吗?

当然,如果是学生写作文,而华文老师数学不好又没什么幽默感,那还是自己看着办吧!

摄影:周嘉惠(马来西亚)

《过犹未及》/李名冠(马来西亚)

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话说数学,过褒与极贬都是不可取的。当人们说“数学无所不在”或“生活中离不开数学”时,并不意味我们可以尽情舍弃其他学问,但凭一帖“数学膏药”走天下。反之,若有人高举“数学无用论”,说什么“会按计算器就行”时,我们为他掬一把冷汗。

哲学界有着两种建构信念(beliefs)及学问的方法,那即是foundationalism(或译基要主义)和 contextualism(或译脉络主义)。欧洲大陆理性论的基要主义者史宾诺莎(Spinoza)讲求绝对的“确切性”。他以欧氏(Euclidean)的几何学为标杆,认为唯有经由完整而严谨的“演绎法”(deduction),我们才有可能建构正确的知识体系。另一方面,哲学家们的“老祖宗”苏格拉底(Socrates)则是脉络主义的始作俑者。他擅长凭着“假设的方法”(method of hypothesis)以及不断的追问,引导人们追索并厘清相关知识的意义。譬如当苏格拉底与学者们探讨什么是“德行”时,便从各种脉络建构知识或认知,从各种矛盾与不完善中逼近知识的真相。这也称为所谓的“归纳法”(induction)。

基要主义需要基本命题作为建构知识的基础或出发点,而且这个基础必须是绝对无误的。接着,依照严格的演绎方式从基本命题推演,进一步获得结论。这里,结论的可信性和真确性建构在基本命题的完全无误及确切性。这样说吧!当牛顿的三大定律被推翻时,所有的物理知识都必须重新解构及推翻。若“一加一等于二”被证明无效时,所有的数学课本都作废。这是一种喻为“积木式”的学问方法,一旦底层的积木腐朽或被抽离之后,上层的知识与定律都一律作废了。

可爱的是,恰恰人文科学的领域“一加一”往往受喻为“大于二”或“无限大”。是与非之间往往相互蕴涵,你中有我,我中有你;阴中有阳,阳里有阴。归纳法讲究的是大致的事实道理,当中必定蕴涵着例外,而且许多时候无法具体说明有多少例外的问题。脉络主义的归纳法看似经不起确切性的诘难,然而却是逼近真相的积极方法。这方法受喻为“蜘蛛网式”的学问方法。我们了解,蜘蛛网看似柔弱而易断,但是若从整体蜘蛛网来看,其互补性、稳定性以及韧性极强,能够协助我们逐步看清真相(当然,谁也无法看清全部真相),是人们建构及探索新领域及新学问的最好方法。

无论是基要主义的演绎法或是脉络主义的归纳法,两者需相互辅助,藉演绎法把道理讲得更精确,经归纳法不断发掘并梳理人世间的事理。

我无意在这里大谈哲学论辩,感慨的是,在利欲熏心、是非混淆、道德沦丧以及科技发达的今天,太多的人不懂得这样最基本的哲学思维。最揪心的,个别人凭着自以为是而却荒谬的“确切命题”,颐气指使,君临天下般批判人文领域的事理,切割、颠覆、判别,非此即彼,忘了自我反省,徒使九州烟尘生。

兴许,在动乱不堪的时代,人们才懂得惦念人文与哲学的重要性;在饱受凌辱的时候,才尊重能驱虎豹之英雄及不怕熊罴之豪杰!

摄影:李嘉永(台湾)