《借位与进位》/梁山下买豆腐(马来西亚)

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几十年前,幼儿园纯粹是小孩子玩乐的场所,可惜那种好景早已随风而逝,如今幼儿园已经全然不是那么一回事了。

相比起过去,女儿现今在幼儿园里学的东西,说得上是拳拳到肉的“真才实学”。以算术为例(实在不能接受把加减法运算称之为‘数学’,牛吹得那么大是想吓谁呢?),他们现在已经在做十位数的加减法,而想当年我在这个年纪时恐怕还数不完一到十。记忆中以前上幼儿园就是去玩而已,对读书、做作业的记忆完全一片空白,难不成是我失忆?

女儿头脑清醒时,减法的借位和加法的进位都难不倒她。不过,有时候和妹妹玩得失魂就难说了,五加十六随时会得出一百一十一这样的答案,还满脸狐疑地问:“五加六等于十一,一加零等于一,不对咩?”这样的烂算术,加上这样的烂华语,真是让人火大!

话虽如此,毕竟还是发作不起来。想想就六岁的一个小孩,自己又不是国家教育部里那一批没心没肺没良知没常识的官员,为这样的事生气实在不是很理智。

当年编电脑程式的经验提醒我,电脑程式如果编得好,永远都不会出现计算错误的问题。但是,电脑就像一个无辜的小孩,必须一步一步说明,少一个步骤也不行。电脑像小孩,小孩也像电脑,步骤一定要说清楚,基础打好以后问题自然少,即使最终还是开不了窍,尽过力就不留遗憾。

身为教师或家长,必须认识到发火是教不会算术或其他随便一门科目的。我们或许早已对进位和借位的概念烂熟于心,但别忘了孩子才刚刚第一次接触。如果准备当一个引路人,我们的义务就是把路照亮;余者,随缘吧。

摄影:周嘉惠(马来西亚)

《文理之辩》/江扬(中国)

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自从人类进入工业化时代以来,以数学、物理为代表的自然科学就以吹枯拉朽之势成为推动社会发展的显性核心力量。而与之相对,人文学科作为苟活在强势科学阴影下的弱势群体,一直自怨自艾。在经济尚佳的时代,人文学科尚能以素质教育的名义在蓬勃发展的金钱游戏中分得一杯羹;而在近年世界经济下滑,教育经费削减的大趋势下,高等教育中的人文学科成了最先受到冲击的群体。诸多人文学者无不呜呼哀哉,比如芝加哥大学的努斯鲍姆(Martha Nussbaum)教授专门著书谈论人文教育的重要性(Not for Profit: Why Democracy Needs the Humanities),竭力将人文教育与资本社会的良性发展联系起来。而在中国,“五四”以来一直强调的西化或是现代化,某种意义上就是以西方先进的科学知识取代传统的孔孟之学。近年来甚嚣尘上的的重振国学、再谈新儒家亦不过是进一步注解了人文的不振。总而言之,理工是刚,人文为柔;理工代表男性,人文则是女性。女性主义无论怎么高涨也难以扭转性别差异的现状,人文学者们试图以柔克刚却常常沦为怨妇式的絮絮叨叨。

人文学科长年处于弱势地位,因此,一旦出现一丝来自理工学科的“示爱”,总是欣喜若狂,如获至宝。比如,近年来量子力学中对于物质微观不确定性的发现常常被众多人文学者大加引证,作为虚无缥缈的人文理念获得“科学教”背书的例子。而一些自然科学家谈论哲学的只言片语也屡屡被人文学者大做文章,解读为“科学家千辛万苦爬到山顶时,佛学大师已经在此等候多时了”。物理学变得亲密,数学看起来也可以为我所用。斐波那契数列、黄金分割为美学带来了科学味道,“道生一,一生二,二生三,三生万物”这样数字式的哲学解答,或是戏剧创作中的经典三幕剧结构,都为数学的美学化增添更多论证的砝码。

我们还可以找到更多文理之间的有机联系,却不能因此而否认,文理毕竟泾渭分明。以数学为王冠的自然科学,探究的是不以人类意志为转移的宇宙奥秘。每一次重大科学成果的发现,在让人惊叹宇宙的奥妙的同时,也都映衬出人类的渺小。科学发现最为激动人心之处,恐怕莫过于有限的人类触角所触及的永恒无边真理。换句话说,文明可以毁灭,人类可以毁灭,乃至美也可能毁灭,但数学永存。在亘古永存的真理面前,我们只能俯首称臣。费尽心思地召唤科学来为哲学贴金,只能证明了后者的渺小与局限。

更重要的是,人文的意义,并非通过其与科学的眉来眼去来体现。即便不存在绝对的哲学,但也不妨碍其产生对于人类的绝对意义。有限的哲学对应有限的人类,其意义即为无穷。用有限的生命幅度去追求无限的宇宙真理固然令人敬佩,但承认生命的有限性,在此有限的框架下探寻相对的真善美也同样意义非凡。或许可以用效率与公平的辩证来做个类比。理工代表的是效率,而人文则为公平。我们不能因为永恒的效率而忽视了暂时的公平,因为对于无法重来的生命而言,所有的意义都是暂时。在这个暂时性的当下,我们不仅需要效率的诱惑,更加需要公平的温暖。因此,停止怨妇式的絮絮叨叨吧,更无需因为性别差异就委身依附。可取的弱者姿态从来不是自怨自艾,而是自立自主。

摄影:周嘉惠(马来西亚)

《从没有的‘无’到灭绝的‘无’》/廖天才(马来西亚)

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人类的存在是件最令人惊讶的事。人类拥有数学概念,同样令人惊讶得啧啧称奇。

《圣经》的《创世纪》篇只提到上帝向亚当说话、蛇向女人说话,意味着语言是由上帝所赐,但没说到数学概念这回事。《圣经》的诠释者大概会辩护说:“人类的数学概念,当然也是上帝一手包办。”

去内陆与不同的族群接触,免不了要请教他们如何念他们族群的数字发音。原住民会高兴且耐心的给予指导。从1到9,一个又一个数字慢慢地教,最后是10。

“0”该如何发音?可爱的原住民往往会忘了教这个。

“Kosong”。他们用马来语回答我的问题。

“这个词汇的发音是马来语。你们的族群的语言,没这个词的发音?”

“没。”

后来发现许多族群都没有“0”的发音,也就是没有“无”的概念。数字之中,“无”是最抽象的概念,或者说,我们根本就无法想象“无”。数学上,我们只能计算“有”,而无法计算“无”。

去过埃及的人无不对建筑金字塔的精确数学运算感到震惊。七大奇蹟中的胡夫金字塔,是由約230萬個,大小由2.5噸至5噸不等的石块所砌成。整座金字塔用叠砌法,缝隙密合,不施泥灰,角度、线条、土石的压力事先经过周密的计算,四邊精確的對準東西南北四個方向,四面的角度為52度,正方形底边的长度,每边平均的误差只是1.52厘米。

这座4500年前的巨大建筑,充分显示了当时人类在数学和科学上的智慧与实践“成就”。当然,这个“实践成就”是残酷的:它动用10万人,轮流花了20年时间来完成。巨大人力、物力与财力的花费,过程中死伤无数的子民,就为了一个皇帝尸体的安置。

公元前200多年的古希腊数学家阿基米德,是大家最熟悉不过的人物了。他研究及解决了由曲线或曲面所包围的图形的面积,以惊人的技巧应用和推广他前辈,也就是雅典科学家欧多克索的穷竭法,从规则图形的面积或体积,来不断趋近所求的曲线形,最后发现了圆锥体表面积的公式,并进一步证明球体的体积和表面积的定理。

他的“绝伦”之处是,应用数学来研究力学,也反过来应用力学手段来解答数学问题。在力学上,他的著名贡献就是发现杠杆原理。他说过:“给我一个立足点,让我把地球给移动。”坏就坏在他把知识应用在军事上,他发明了一系列军事机械装置。

有一次当罗马军队攻打雅典,罗马军突然被暴雨般射出来的大石头击中,死伤无数。这种能射出大石头的奇妙机器,就是阿基米德的发明。后来,他还发明及制造巨大的凹面镜,聚集太阳光以焚烧罗马军队的船只。

阿基米德是第一个将科学运用于军事上的数学家,后人把他称为“数学之神”。

今天,有无数的数学家与科学家参与军事科技研发。人类普遍预测,若发生第三次世界大战,今日数学家及科学家所贡献的最大智慧恐怕就是:一举将所有人类灭绝。

摄影:PL Tan(马来西亚)

《数学与我》/宫天闹(马来西亚)

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我小时候数学不是特别好。其他科目的成绩不算差,可是就是数学不是很理想。真的不知道为什么,我当时就是对数学一点好感都没有。小六检定考试(UPSR),我还记得当时必须要至少四个A,而且华文作文一定要A,才可以直上中一,省下上预备班的一年。我班上有好多人就因为华文作文拿不到A,而不能直上中一,数学对大家来说几乎不是问题。我正好相反,我华文作文拿A,数学拿了个C,由此可看得出我当时数学是多么的不好。

好吧,上预备班就上预备班呗。到了中学,我的数学不知道为什么突飞猛进。我好像开窍了般,头脑忽然间会开始计算了。从预备班到中三,数学对我来说,都没有面对太大的问题。当然考PMR时(编按:中三会考),数学也没问题。到了中四,我们开始多上一门数学课,就是高级数学。由于我之前几年数学一直都很好,高级就高级,老子没放在眼里。接着第一次考试,晴天霹雳啊,我差一点不及格!我还记得,当时我考了个46分(40分及格)。当时晴天霹雳的不止是我,班上大多数的同学也没考好,高级数学真的很高级,比我们之前学的高了好几个档次。怎么办才好呢?我开始找补习老师上高级数学课,找了个王老师,非常认真的王老师。再一次,我的数学又经历了一次突飞猛进。我真的很感谢王老师,她把数学变得非常的简明易懂。

大学我读的是工程系,是一个需要很多计算的科系,尤其是我修的电信系。其他的科目考得时好时坏,可是数学总是不会让我失望。我虽然念的是工程系,可是当时我总觉得工程师不会是很适合我的工作。当然毕业后,我也当了好几年的电信工程师。虽是如此,我发现之前在大学所学的那么复杂的数学,工作后好像都没什么用到。现在转行当信托基金顾问,反而每天都会用到计算机。

摄影:Clement(马来西亚)

《算术教学》/周丽雯(澳洲)

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来澳洲后才发觉原来买东西找钱可以跟马来西亚那么不同。在马来西亚,找钱就找钱嘛,谁还会嘴巴念着“你买十八元,给我二十元,找你十九、二十元”,同时配合“口诀”把手上硬币交到买家手上,一个一个的加到二十元为止。

刚开始是好奇,还以为自己碰到怪人,后来发现,好多店员都是这样找钱的。首先是从钱箱里掏出钱,然后从你买的总数和付的钱的差数,把自己手上的钱,一张一张纸币给你(逐一加到你付的钱)。这种不用减法,而用加法的找钱方式,特别吧?!

最近因为我开始接触澳洲小学这套算术教学法,这才恍然大悟!原来加减法还可以用不同的“方法”达成!我平时就一股脑的二十减十八等于二,找两块钱,不就解决了?干嘛还逐一的加,算术也未免太烂了吧?现在才知道,原来这是这里教学的一套办法,而这套教学法是可以促进孩子们脑筋发育的。

这脑筋是否真的会比没学过“逐一加到总数”的人厉害?还得深入的从科学角度探讨,不过这发现就让我这移民大婶自认高明了!看,澳洲的教育制度就是好,我没做错决定把孩子留在这里念书!哈哈!

摄影:周嘉惠(马来西亚)

《2016:回顾五月,展望六月》

非全职投入的事业最大难处就在于时间往往不在自己掌控之中,一忙起来实在分身乏术。最近的情况正是这样:多事!忙!好,言归正传。

五月的主题“电影”让人充满期待。林明辉的《你老了我们推你去看电影》从看007电影带出父子亲情,希望能够让那些总是在诋毁西方文化的人醒醒脑,别以为只有亚洲人才懂得亲情。练鱼的《长大后的西游记》也很有意思,那是从一个一般人想不到的角度切入去思考《西游记》中的人物命运。据说今何在(原名曾雨)的著作《悟空传》中也有类似的解读,有兴趣的话不妨上网去找来看看。作者们推荐或介绍了许多电影,让人眼花缭乱之余,也甚有收获。我个人推荐了12部影片给大家,虽然要我再推荐12部、24部也不是问题,不过有空就先看这12部吧!尤其是那部The Man from Earth(Youtube可以找到),如果看了后觉得还蛮有意思,那我们约个时间喝下午茶,我请,不食言。

许多人都有一种错误印象,认为数学和文字是水火不相容的。然而,到今天为止,我们已经在《学文集》读到不少精彩文章证明这种刻板印象是颇有商榷余地的。虽然数学不好可以写出好文章,但那并不是必要条件,数学好的人一样可以写出不错的文章。在我个人观念中,纯粹的为计算而计算,充其量只能称得上是一种嗜好,数学能够带给我们的应该远不止此。至少以人文的角度视之,人类作为地球上唯一懂得数学的物种(马戏团里会简单加减法的狗、海狗等,只是表演),这门学科绝对有它举足轻重的人文地位。

六月都快过去一半了,这篇《回顾与展望》显然不能再拖下去,但事情实在多,只能草草如此。海涵!海涵!(周嘉惠)

《奈何》/林明辉(瑞典)

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说来惭愧,身为理科班的学生,基本上我认识或懂的数学就是加减乘除!教我们数学的颜老师知道的话应该也无语了(也不要怪我,你教书的方式太无聊、太缺乏趣味性了)!也不知道我当年为什么选读理科?代数、微积分,还分高级代数和微积分。还要找那什么表的去对什么数字,天呀就它们认识我,我不认识它们。

对我们的教育体制不怎么理解,为什么要硬把我以后用不到的东西教我呢?代数、微积分、高级低级什么级数学,对我来说都不认识!除了数学,华文也一样硬把文言文、诗词歌赋都硬塞在当年我那小脑袋里!这算不算虐待呢?

说到84、85循人中学的理科班,我看就那几位学霸才明白和理解数学和其他功课吧?其他的同学应该也都是在过日子或等时间过的吧?

出来社会工作后,日常生活和工作上就只用到加减乘除,幸亏在学校时我还学到了这些“数学”!那其他的“数学”呢?好像就没有什么印象了。

有时想想,如果学校教育就教加减乘除,那我应该更加“学”得开心。哈哈哈!那我的数学肯定很高分,而且也会轻松很多!这不过是我个人的意见,当然对那些学霸来说,这番话根本就是胡扯!

摄影:林明辉(瑞典)

《数学理解题》/驴子(马来西亚)

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  最近在报上与网络传开了一则令人爆笑的学堂图片:一个小男孩站在黑板前正纠结着“2+1”等于多少,不得要领之下唯有转身求助于班上的同学,一位同学因此比出三根手指头。答案已呼之欲出了吧?不料,小男孩却把三根手指的手势错误解读,结果在黑板上写下“OK”。
 
 “2+1=OK”?坦白说,我还真能对小男孩要理解数学的苦恼感同身受呢!回想起来,我在学习数学的一路上,也不算顺遂。小学时期连9×9的乘法表也背不好,到了中学时期不时在临睡前还需复习乘法表,唯恐久久不背便会记错。后来开始上高数,按计算机也常出错,往往一题数学要算上几轮,写下答案后仍在担心哪个步骤粗心出了差错。原以为勤能补拙,只要自己多做练习题必能“熟能生巧”,再复杂的题目也可以理出头绪来,因此中六时期信誓旦旦要恶补在及格线下的高数,把多数温习时间都是花在做数学题,答案错了再做,直到算出“答案”。

  结果很令我失望,当我领到中六年终大考的成绩册时,我终于被迫接受事实——花了这么多时间做数学题,死记硬背各个计算方程式的我依然没法搞懂数学!所花费的时间和所得到的成果并不等值,这就是学习数学给我的“勉强无幸福”切身体验。对于无法与数学“幸福在一起”,我耿耿于怀,也深感无奈。

  数学成绩固然让我产生了挫败感,庆幸的是我也很懂得“苦中求乐”的道理,在学习数学的“坎坷”路上不断寻找乐趣。每当我看着这些由阿拉伯数字、符号组成的一道道繁复的数学题目,感觉上就像什么神秘的语言等着让人去解读,看不懂也罢,若非为考试,我对数学绝无偏见。初接触数学时,我对数学的认知是一门单纯有关计算的学科,到后来接触了物理、化学等科才逐渐发现数学涉及面甚广,单单会计算是不足够的,须先理解问题才能逻辑地找出正确答案。这个时候考验的便是我们的理解能力、逻辑思考,最后才是计算能力。

  离开学府之后,虽然数学对于我已没有成绩上的压力,可是数学却不曾离开过我的生活。平时计算日常费用、比较货物价钱、烹饪时材料的测量计算、绘画时人物的比例、捆绑一个盒子所需的绳子长度等等,无一不数学。

  即便不是以上这些实际运用,数学还有一种作用,便是可以把原本复杂的事情用简单的方式说明(譬如物理方程式),又或将抽象的道理以数学的方式趣味呈现,简要说明。之前便从报上看到有一篇关于“聚焦在对的事情”的企管文章写着:“千万不要做焦点不对的事,不对焦的小事累积还是小事(1x1x1x1x1=1);应该去做效益能够累加的小事(1+1+1+1+1=5),也就是聚焦在对的事情上,并且把它做得好快乐。”以小学生也会的数学题去讲解一个意义深长的道理,它便不仅仅是一道计算的数学题,而是一道理解题了。

  数学既可把复杂的事情简单化,那么亦可把简单的事情复杂化吧?现在看回前述的“2+1=?”题目。三根手指算得出来的数学题,小男孩却苦思不得其解,经过复杂的思考过程,最终煞有其事地写下“OK”。

  2+1=OK。假设“O”和“K”是两个代数而非英语Okay的意思,那“O”和“K”便不只是一个答案了吧?因此,2+1究竟是不是等于OK,倒要看你对这数学题是怎样的理解了。

摄影:Lin Yun Yun(台湾)

《我的数学纠缠史》/谢国权(马来西亚)

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这世上,能攥着人心的事物太多了。有人对声音着迷,有人对爱情着迷。着迷本身就有种玩物丧志的负面印象。当然,这年头,有赚钱的本事就能洗脱丧志的嫌疑。玩电动就是最佳例证。没对任何事物沉迷过的人,本质上就缺乏对人事物的热情。这种人,我觉得一定是很无趣的。然而,沉迷、耽溺和狂热都不可量化,彼此各自为营。最终,能小资情怀地赚点钱的那些人,大概都能让人谅解,甚至赞誉。

数学,曾经让我着迷,觉得很快乐的。高中时期,我喜欢独立思考,在数学老师对数理解释的范畴之外,闭门造车,用不同的方式解题,常常觉得有种自足的快乐。当时候国中的课程相对轻松,我却常常旷课。喜欢在无人的野径上独行,作无人审阅的习题。然而,这种快乐如秋蝉一般,在最自在欢唱的当儿,却没意识到冬寒的变化,一响贪欢。

中六,我选修了双数学。人往往对重大的灾难总是后知后觉的,正因为轻心大意,这才酿成这种“汉卿误我”之慨。如果说人生是一棵树,每个日子就像一片片的树叶,每一片都独立但又有近乎的茎脉纹理;那么,中六那段时间就像西山雪片一样,大如织席的雪片罩在脑门上。忽然,所有的数学方程式变种,成了最难缠穷凶恶极的魑魅。首先,误坠红楼,已经预先收复了我多年积攒下来的所有闲暇。再弄个穷追不舍的变形数学,我忽而变得穷于招架,像卑微的小卒,衔枚疾走。但闻人马之声,不暇顾。只觉得数学忽然不再是熟悉的数字,几乎都是英文字母串成的演绎。没有应用的纯演绎像在御劲草而行、踏凌波之微步,无一处可借力使劲。凭空挑刺,金戈铁马,我这穷兵弱勇,舞不起这定海神针,注定败北。

这才意识到数学之险。在几近没顶之灾中活着,从此不敢再语数学。它确实攥着人心。多少年以后,多少个夜晚还会惊醒,梦回当年临考前夕如临深渊,步履春冰的恐惧。这多少叫我也体会了李后主亡国之痛。最是仓皇辞庙日,教坊犹奏别离歌,垂泪对宫娥。在梦中的考场,也确实是这么一番景象。

而今,数学又成午睡的良驯小猫了。在日常生活中几乎都是真实数字的应用。酒瓶子的数量、钞票的面值、午饭的钱、上个月信用卡的账单等等。那些个噩梦也还做,醒来看看熟睡的太太,忽然大悟。当年一役,我手擒数学之母——当年数学最好的同学,为压寨夫人十余载,不定,算起来还略胜一筹。

心喜,遂安。

摄影:PL Tan (马来西亚)

《逻辑之美》/李明逐(中国)

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在Google工作的吴军老师有一本书,名字叫《数学之美》,作为文科渣的我并不能看懂,但看过他的互联网科普书籍《浪潮之巅》,这本书很赞,所以即使我没看过《数学之美》,也不妨碍我给予高评价,更不妨碍我盗用他起名的逻辑,写一篇《逻辑之美》。

数学的根本其实是逻辑,任何数学证明和应用都通过逻辑实现。

起初我并不觉得数学很美,我只是被学数学过程中产生的成就感所吸引,那种感觉很奇妙。小学时候列方程式,知道怎么计算两个人先后出发,一个快一个慢,过久之后两个人才能碰到这样有趣的问题;初中学函数,一条条抛物线和折线,不同的象限,不同的维度,产生不同的结果,任何一种可能性,都会引出不同的视野,当时年纪小,得出一种新算法,就仿佛遇到新的世界;高中学几何,加深了空间的概念,几条虚线实线就可以构造一个空间,就像绘画用光影来塑造立体感一样,几何图形也是光影构造的幻觉,联想到现在最流行的虚拟现实,从人们开始通过绘画和图形来记录实体本身时,对现实的虚拟的感知就开始了,这也许就是几何图形带来的妙处。

大学学过一年的微积分,当时在晚上,坐在自习室里,苦苦求解,但做为文科党的我,已经渐渐远离数学,因为它好像并不能帮助我获得更好的成绩绩点,所以就慢慢抛开数学了。

几年后的现在,突然感受到数学之美来了,具体来说是感受到的是逻辑之美。

逻辑和人文学科本来并不冲突,但逻辑所代表的理工科和感性代表的人文科学,被教育体制渐渐区分开了。所以,我们就逐渐形成了刻板印象,即,理工科的人都是无情商的逻辑党,文科生都是感情丰富只长了右大脑的神经病。这无疑是错误的认知,但时间久了,我也会逐渐默认这样的认知,即,我并不擅长逻辑,中学时辉煌的数学成绩都只是为了应付考试,并没有对我的思维产生影响。久而久之,逻辑能力愈发缺少锻炼,就真的坐实了文科生不懂逻辑的标签。

实际上,数学和人文学科有密切关系,各有分工,又融合交叉。数学思考的是自然、客观世界的关系(我们假定数学这种假设是准确无误的),人文学科思考的是人、历史的关系。我们往往通过严密的逻辑论证获得地球的各种参数、人体的成分、星空的距离和计算机如何更快计算,而又通过了解历史和政治,思考人存在的意义,感知情感、美、力量、文明。这两种属性是不能分开的,不懂逻辑的文科生也难以理解人类社会,不懂人文社科的唯技术论也很容易陷入陷阱。

因此,我学了那么久的人文科学,突然就发现了逻辑之美。具体表现在学会了量化分析从人的各种习惯得来的数据,从数据中能更好的感知人的情感、倾向和偏好;可以通过逻辑来理解人类历史,去容易发现其中的某种必然性。我想用一本书来形容我对于逻辑的感悟。刚刚看过米兰·昆德拉的《生命不能承受之轻》,书中对于人的情绪和社会政治之间的关联分析,能最好地解释逻辑和情感之间的关系,只有这么细致的逻辑才能形容和书写后现代人心中的无序的情感,而中国传统文化中几乎没有见到过复杂情感的表达,因为,中国古代人不重视逻辑,所有的感情都大而化之为不可言说,或者欲辨已忘言。

配图摘自网络。